3枚の極板を並べて作られるコンデンサーにおいて極板を移動させる問題を丁寧に解説!

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問題設定

今回は

3枚の極板からなる
コンデンサー

を使った問題について解説していきます!

 

問題

図1のように面積の等しい3枚の導体板$A_1, A_2, A_3$を平行に置き
間隔が共に$a$となるようにして固定した。

図1

$A_1,  A_3$を接地し、スイッチSを閉じて$A_2$の電位を$V_0$にすると$A_1$の電荷は$-Q_0$となった。

図1における$A_1, A_2$間の電気容量を$C$として次の問いに答えよ。

  • (1)$A_2$の電荷を求めよ。

 

次にスイッチを切り、図2のように$A_2$を$A_3$の方へ$x$だけ動かした。$(x<a)$

図2

  • (2)このとき、$A_2$を求めよ。
  • (3)$A_1$の電荷を求めよ

小問それぞれについて、以下で詳しく解説していきます!

 

移動させる前の電荷

それではまず、(1)を解くために必要な考え方を解説していきます。

コンデンサーの電気容量$C$というのは
具体的に

$$\large C=\frac{\epsilon_0 S}{d}$$
($d$:極板間の距離、$S$:極板の面積、$\epsilon_0$:真空の誘電率)

と書くことができ、この式から明らかなように
コンデンサーの電気容量というのは

極板間の距離

極板の面積

によって決まります。

今の場合、3枚とも極板の面積は等しく
極板を移動させる前では$A_1$と$A_2$、
$A_2$と$A_3$の極板の距離は同じく$a$です。

そのため、$A_1$と$A_2$間の電気容量
$A_2$と$A_3$の電気容量同じになります。

 

また、今問題にしている回路は

このように、

2つのコンデンサーが
並列につながっている

とみなすことができるので、
極板間の電位差も同じになります。

 

(1)を解く場合にはこのことに十分気をつけるようにしてください。

 

問題(1)を解く

それでは問題を解いていきましょう。

コンデンサーの極板に溜まる電荷$Q$は

$$\large Q= CV$$

で求めることができるので、電気容量$C$と
電位差$V$が等しい$A_1$と$A_2$、$A_2$と$A_3$の
2つの極版間では同じ量の電荷が溜まることになります。

今の場合、極板$A_1$に電荷が
$-Q_0$だけ溜まっていることから
極板$A_3$に溜まっている電荷も$-Q_0$だとわかります。

そして、それらと

符号が反対で同じ量の
電荷が極板$A_2$に溜まる

ことになるので、
(1)で問われている極板$A_2$の電荷は

$$\Large +2Q_0$$

だとわかり、これが答えになります。

 

ちなみに今の場合、$A_1$と$A_2$、
$A_2$と$A_3$によって作られるコンデンサーの電気容量$C_0$は

$$\large C_0 = \frac{Q_0}{V_0}$$

と書けます。

 

極板を移動させた後の状態について

それでは次に、(2)(3)を解くために必要な考え方について解説していきます。

今、問題を解く上で注意すべきことは以下の3つです。

注意事項その①:電荷の保存

1つ目は

孤立部分の電荷は
突然消えたり増えたりしない

ということです。

 

スイッチを切ったので、それまで$A_2$に
溜まっていた電荷$+2Q_0$はどこにも移動することはできません。

つまり、$A_2$の電荷が突然消えたり、
突然増えたりすることもありません。

 

注意事項その②:コンデンサーの電気容量の式

問題(1)の方でも言いましたが、
コンデンサーの電気容量は

極板間の距離$d$と
極板の面積$S$によって

$$\Large C=\frac{\epsilon_0 S}{d}$$

のように決定される

ということに注意するようにしてください。

 

この関係に注意すれば
移動後の電気容量の大きさ、また、

極板間の移動後の電気容量が
移動前の電気容量に比べて何倍になったか

をすぐに求めることができます。

 

注意事項③:回路は並列回路になっている

これも問題(1)で言いましたが、
今考えている回路では

このように、コンデンサーが並列につながっているとみなせ、そのために

$A_1$と$A_2$、$A_2$と$A_3$の
極板間の電位差は同じ

になります。(並列回路の基礎)

 

極板間の距離が変化しても
電位差は同じであることに注意してください。

以上のことに気をつけて問題を解いていきましょう。

 

問題(2)(3)を解く

再度、問題と図を示します。

問題

スイッチを切り、図2のように$A_2$を$A_3$の方へ$x$だけ動かした。$(x<a)$

図2

  • (2)このとき、$A_2$を求めよ。
  • (3)$A_1$の電荷を求めよ

$A_2$の電圧を求めるために今使えそうなのは
コンデンサーの関係式

$$\large Q = CV$$

です。

 

今考えている回路は

このように

並列回路だとみなせる

ので、$A_1$と$A_2$、$A_2$と$A_3$の極板によって作られる
2つのコンデンサーの電位差は同じです。

そして、この電位差が求めたい$A_2$の電位になります。

 

この電位差をどうやって求めるか、
ですがここで

$A_2$における電荷の保存の関係式

が使えます。

というのも、電荷についての関係式が得られれば
コンデンサーの関係式:

$$\Large Q = CV $$

を用いることで

電荷の式から
電位差(電位)の関係式へ
持ち込める

からです。

電荷の保存の式を立てる

そこで、移動後の極板$A_2$において、
極板$A_1$側に溜まっている電荷を$Q_1$、
極板$A_3$側に溜まっている電化を$Q_3$で書くことにします。

移動前の$A_2$の電荷は(1)より$+2Q$であり
スイッチを切り、電荷がどこにも移動できなくなった状態で
極板を動かしても孤立した$A_2$では電荷が移動できず保存するので、

$$\Large Q_1+Q_2=2Q_0$$

((移動後の電荷の合計)=(移動前の電荷の合計))

という式を得ることができます。

 

電荷の式を電位差の式に書き直す

ここで、移動後の極板$A_1$と$A_2$間、
$A_2$と$A_3$間の電気容量を(電荷と同様に)$C_1$、$C_2$と書き、
求めたい電位を$V$で書きます。

すると、コンデンサーの関係式から

$$\Large Q_1 = C_1V$$

$$\Large Q_2 = C_2V$$

と書くことができるので、これを
先ほどの電荷の保存を意味する式:

$$\large Q_1+Q_2=2Q_0$$

に代入して、

$$\Large C_1V+C_2V=2Q_0$$

を得ることができます。

 

念の為言っておくと、この式において
電位$V$「求めたい量」であり、
$Q_0$は「既にわかっている量」
$C_1$、$C_2$は「まだわかっていない量」です。

 

この2つの電気容量がわかれば「$V=$」
の形に式を変形することで、求めたい$V$を得ることできます。

 

移動後の電気容量の表式を求める

この2つの電気容量の表式を求めるために
コンデンサーの電気容量が

$$\Large C = \frac{\epsilon_0 S}{d}$$

($d$:極板の暑さ、$S$:断面積)

という式でかけたことを思い出してください。

 

この式から、極板の断面積を$S$とおくと、
極板間の距離が、

このようになっていることに気をつけて、

$$\large C_1 = \frac{\epsilon_0 S}{a+x}$$

$$\large C_2 = \frac{\epsilon_0 S}{a-x}$$

と書くことができ、これらをさらに変形することにより、

$$\large C_1 = \frac{\epsilon_0 S}{a+x}=\frac{\epsilon_0 S}{a}\cdot \frac{a}{a+x}$$

$$\large C_2 = \frac{\epsilon_0 S}{a-x}=\frac{\epsilon_0 S}{a}\cdot\frac{a}{a-x}$$

と書けます。

 

ここで、

$$\Large \frac{\epsilon_0 S}{a}$$

の部分に注目してください。

これは、

極板間の距離が
$a$である場合の電気容量

を意味しており、これはつまり

極板を移動させる前の電気容量

のことです。

 

問題(1)の最後で述べたように、
極板を移動させる前の電気容量は
$C= \frac{Q_0}{V_0}$と書けるので、

$$\Large \frac{\epsilon_0S}{a} = \frac{Q_0}{V_0}$$

という関係を得ることができます。

 

これをC1とC2を求める先ほどの式に代入して、

$$\Large C_1 =\frac{Q_0}{V_0}\cdot \frac{a}{a+x}$$

$$\Large C_2 =\frac{Q_0}{V_0}\cdot\frac{a}{a-x}$$

が得られます。

 

この電気容量の式を$(C_1+C_2)V=2Q_0$ に代入して、

$$\large \Big(\frac{Q_0}{V_0}\cdot \frac{a}{a+x}+\frac{Q_0}{V_0}\cdot \frac{a}{a-x}\Big)V=2Q_0$$

これで、わからない量が$V$だけの式が得られたので、
上式を適切に変形し「$V$=」の式にしてきます。

すると、

$$\large \frac{Q_0V}{V_0} \Big(\frac{a}{a+x}+\frac{a}{a-x}\Big)= 2Q_0$$

両辺をQ_0で割り、()の中身を整理して、

$$\large \frac{V}{V_0} \Big(\frac{a(a-x)+a(a+x)}{(a+x)(a-x))}\Big)= 2$$

 

最終的に

$$\Large V = \frac{a^2-x^2}{a^2}V_0$$

という表式を得ることができます。

これが(2)の答えです。

 

$A_1$の電荷を求める:問題(3)

最後に、$A_1$の電荷を求めていきます。

(2)を考える過程で求めたように、
極板$A_1$と$A_2$で作られる
コンデンサーの電気容量$C_1$の表式は

$$\large C_1 =\frac{Q_0}{V_0}\cdot \frac{a}{a+x}$$

と書けます。

 

これと(2)で求めた電圧Vを使うことにより
$A_1$の電荷$Q_1$は、その符号に気をつけて

$$\large Q_1 = -C_1V = -\frac{Q_0}{V_0}\cdot \frac{a}{a+x}\cdot \frac{a^2-x^2}{a^2}V_0$$

最終的に

$$\Large Q_1 = -\frac{a-x}{a}Q_0$$

と書くことができます。

これが(3)の答えです。

 

注意

$Q_1 = -C_1V$という式で、

なぜ負符号がつくの?

と疑問に思ったかもしれませんが、
これは、コンデンサーでは

同じ大きさで符号が逆の電荷が
2つの極板に溜まる

ためです。

今の場合、$A_1$と$A_2$で作られる
コンデンサーに注目すると、
$A_2$の方に正の電荷が溜まっているため、

$A_1$の方には「負電荷」
$A_2$の正電荷と同じだけ

溜まることになります。

コンデンサーの関係式:$Q = CV$を使う時、この$Q$というのが

2つ極板それぞれに溜まる
電荷の”大きさ”を表している
(符号までは考慮してない)

ということに十分気をつけてください。

 

 

まとめ

それでは今回のまとめです。

まとめ
  • コンデンサーの電気容量は
    「極板間の距離」「極板の面積」によってのみ決まる!
  • 極板間の距離が変わっても、並列回路なら電圧は変わらない!
  • 孤立した部分では電荷は突然消えたり増えたりしない!
  • 極板の距離が変わっても$Q = CV$という関係式を用いて冷静に処理する!
  • コンデンサーの関係式:$Q = CV$の$Q$はあくまで電荷の”大きさ”であり、
    符号は自分で別に考慮する必要があることに注意する!

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