高校物理をシステマティックに解くための『束縛条件』とは

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今回は微積物理における
微分、積分、微分方程式につぐ新たな概念

束縛条件

について解説していきます。

これは決して難しいものではないですが
微積物理においては非常に重要な考え方です。

 

「力のつり合い」を運動方程式から

次の状況を考えます。

この物体に働く力はなんでしょうか?

 

そう。重力と地面からの垂直抗力です。

ではこの場合において

「垂直抗力を求めてください」

と問われたらどうでしょう。

これも特に難しくはないと思います。

すぐに

力のつり合いから

$$\Large N_1= m_1 g$$

という解答を作ると思います。

 

しかし待ってください。

微積物理では

全ては運動方程式から始まる

と述べました。

 

にもかかわらず先ほどはいきなり
つり合いの式を立ててしまっています。

つまりこの式の立て方は
(減点はされませんが)
微積物理においては間違いです。

 

ではこれを運動方程式から
作るとどうなるでしょうか。

まず通常の運動方程式とは次のようなものでした。

$$\Large m\ddot{x} = F$$

そしてこの場合次のように座標
を取ることができます。

そしてこの場合正方向
鉛直上向きになります。

そして先ほど考えたように
この場合、物体に働く力は

重力垂直抗力

でした。

つまり運動方程式における
力$\large F$は、力の方向に気をつけると
次のように書けます。

$$\Large F= N_1 – m_1 g$$

 

これを運動方程式に代入すると

$$\Large m\ddot{x} = N_1 – m_1 g $$

このようになります。

これで運動方程式自体は完成です。

 

これが「束縛条件」だ!

先ほどの運動方程式を
つり合いの式にするために必要なのが

束縛条件

になります。

 

束縛条件とは

動きを束縛する条件
もっとわかりやすく言うと
動きに関する制限

のことです。

この場合、物体の動きにおける
制限とはなんでしょうか。

それは

$x$方向には物体は動かない

というものです。

この物体が地面にめり込んだりしないのは
直観的にも明らかでしょう。

そして$x$方向には動かない、というのは
加速度が0
つまり、次のように表されます。

$$\Large \ddot{x}= 0$$

 

実際に物体のある位置(高さ)を
$\Large x=x_0$として
証明してみましょう。

この両辺を時間で微分します。

すると$x_0$は定数であり
定数の微分となるので

$$\Large \dot{x}= 0 $$

となります。

この両辺をさらに時間で微分すると

$$\Large \ddot{x}= 0$$

となり、先ほどの式がちゃんと示ました。

ではこれを先ほどの運動方程式に代入します。
すると

$$\Large 0= N_1 – m_1 g $$

という形が現れます。

 

これを移項すると

$$\Large N_1 = m_1 g $$

となり、これはつり合いの式そのものです。

 

答案への書き方

ここまで一つずつ手順を追って説明していきましたが
解答用紙にはどこまで書けばいいのが
疑問に思った方もいるでしょう。

先ほどのような問題の場合
解答用紙には次のように
書くといいです。

Q:垂直抗力を求めよ。

A:運動方程式より
鉛直上向きを正として

$$\Large m\ddot{x} = N_1 – m_1 g$$

また、束縛条件より

$$\Large \ddot{x}= 0 $$

これを上式に代入して

$$\Large 0= N_1 – m_1 g$$
$$\Large N_1 = m_1 g$$

このように書くといいです。

 

垂直抗力、張力、摩擦力が存在する→束縛条件

物体の運動に関して

垂直抗力、張力、摩擦力

以上の力が働くようなら
必ず束縛条件を意識してください。

摩擦力がある場合の束縛条件というのは
先ほどの垂直抗力と同じで

動けない方向

があり、それが束縛条件となります。

 

また張力がある時の束縛条件は
(糸がピンと張られている場合)

糸による運動の制限

が生まれますが、それが束縛条件となります。

 

束縛条件を考える意味

束縛条件をわざわざ考える理由がよくわからない
という人もいると思います。

それは問題を解いていけば
だんだんわかることではありますが
その最たる理由は

運動方程式から
始められるから

に他なりません。

 

物理とはいろんな公式を覚えて
それをパズルのように当てはめていくものだと
考えている人もいるかもしれませんが
そんなことはありません。

微積を用いると、途端に

やることが全て決まった物理

に変貌します。

覚えるべきことは運動方程式だけです。

そして運動方程式

$$\Large m\ddot{x} = F$$

ベースで物理を考えると
物理はとてもシンプルになり、
余計な混乱も生まれません。

そのように、システマティックに解くために

束縛条件

というのは導入した方がいいわけです。

 

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