微積物理の核!『微分方程式』って何?その解き方は?

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微分方程式とは

今回は微積物理における
とも言える

微分方程式

について解説していきます。

これまた難しそうな印象を持った人も
いるかもしれません。

しかしそんなことないので
肩に力を入れすぎないで読んでいってください。

まず(復習の意味もかねて)

『物理で求めたいものは何か』

を思い出して下さい。

 

これは『微積物理の重要事項』を紹介した際

時間の関数として
物理量を求める

と言ったように

時間の関数

が微積物理で求めたいものです。

そしてこの

時間の関数を
求める方法

微分方程式

というものです。

 

今までは

$$\large x^{2}+7x+12=0$$

のような値を求める方程式
を勉強してきたでしょう。

しかし、それとは異なって
微分方程式で求めるのは関数です。

それでは次から早速

具体的な
微分方程式の解き方

を解説していきます。

 

微分方程式の解き方

具体例として
次のような微分方程式を考えます。

$$\Large \frac{df}{dx} = 5x$$

改めて述べますが
ここで求めたいのは

$f(x)$は一体
どんな関数なのか

ということです。
値ではないので注意して下さい。

そこで次のことをおもいだして下さい。

微分したものは
積分すると元に戻る

つまり上の微分方程式において
左辺をxで積分すると(不定積分)

$$\Large (左辺)= \int \frac{df}{dx}dx = f(x) $$

のように$f(x)$を復元できます。

 

そしてこれまで皆さんが扱ってきた
方程式でも左辺にある数を足したら
右辺にも同じ数を足したように
左辺を積分するなら
右辺も積分しないといけません。

つまり上式は次のようになります。
(この時の積分は不定積分)

\begin{equation}
\begin{split}
\Large \frac{df}{dx} & \Large = 5x \\
\\
\Large \int \frac{df}{dx} dx & \Large = \int 5x dx \\
\\
\Large f(x) & \Large = \frac{5}{2}x^{2}+C{(定数)}
\end{split}
\end{equation}

(定数がつくことに注意)

このようにして関数$f(x)$が得ることができ
この一連の作業のことを

微分方程式を解く

といいます。

このようにただ
積分の計算を進めていくだけなので
何ら難しことはありません。

 

ここで鋭い人は

$$\Large f(x) = \frac{5}{2}x^{2}+C{(定数)}$$

を見た時

左辺の不定積分に
定数は付かないのか

という疑問を持つかもしれません。

しかし上で右辺のみに定数をつけたのは
次のような意味があります。

\begin{equation}
\begin{split}
\Large \int \frac{df}{dx} dx &\Large = \int 5x dx \\
\\
\Large f(x)+A{(定数)} &\Large = \frac{5}{2}x^{2}+B{(定数)}\\
\\
\large ↓Aを右辺& \large へ移行し↓\\ \large ↓1つの定数& \large Cにまとめる↓\\
\\
\Large f(x) &\Large = \frac{5}{2}x^{2}+C{(定数)}
\end{split}
\end{equation}

このように
両辺に定数は現れるのだけど
移項して右辺にまとめている
わけなので上で示したようになるわけです。

 

定数はどうやって決まるか

先ほど微分方程式を解いて得られた
関数には定数がついていました。

ではこの定数の
具体的な値はどのように決まるのか。

 

それは

初期条件
(t=0における条件)

を元にして決まります。

 

例えば

「最初物体は原点にあった」

というような条件によって定数は決まり
これによって最終的な関数の形が求まります。

 

これは逆にいうと

初期条件がないと
最終的な関数の形は
求まらない

ことになり、このようなわけで

時間の関数は微分方程式を解き
『初期条件』を与えることで決まる

微積物理の重要事項で述べたわけです。

ここから微積物理が始まる

ここまで

微分
積分
微分方程式

といった新しい事柄
解説していきました。

これらをしっかり押さえれば
後はもう楽チンです。

物理がみるみるわかるように
なっていきます。

しかし途中で微分積分などが
よくわからなくなったら
もう一度ここまでの内容を
読み返すことをお勧めします。

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