微積物理における『位置』『速度』『加速度』の関係

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『位置』『速度』『加速度』の関係

今回は物理でお馴染みの

位置
速度
加速度

の関係について解説していきます。

 

これらの関係を結論からいってしまうと
次のようになります。

上の関係がなぜ成り立つのか。
それが今回の話の核となるので
この点を意識して読んでいってください。

 

位置について

物理では位置のことを
変数$\large x$を用いて表します。

そしてこれは変位とも呼ばれたりしますが
とにかくこれは

物体がどこにあるのか

を表す変数だと理解しておいて下さい。

 

そして物理においてこれは

時間とともに変化

します。

つまり$\large x$は
時間の関数です。

 

位置を時間で微分すると、、

ではここで微分の内容を思い出してください。
(微分の内容がよくわからない方はこちら)

【高校生向け】初心者でもわかる微積物理のための『微分』

2020年9月8日

微分というのは次のように

ある一点での
傾きを求める操作

のことを言うのでした。

そしてこの傾き」とは
点における変化の大きさ
のことです。

 

では

時間で微分する

場合にはどうなるかというと

ある瞬間での
変化の大きさ

を求める操作となります。

 

具体例として
次のような状況を思い浮かべてください。

このように物体が時刻$t_1$から$t_2$の間に
$x_1$から$x_2$へ移動したとしましょう。

この時、

物体の位置は平均で
毎秒どれぐらい変化したか

つまり
(平均の)速度

$$\Large \frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}$$

の形で求まります。

ここで位置$x$の差を$\Delta x$
時間$t$の差を$\Delta t$とおくと

$$\Large \frac{\Delta x}{\Delta t}$$

ともかけます。

 

ではこの$t_2$を
どんどん$t_1$に近づけていく
とどうなるでしょうか。

これは言い換えると
$\Delta t$を0にどんどん近づける
(しかし決して0にしない)
操作とも言えます。

すると次の画像のように

$t_1$における瞬間の速度

を知ることができます。

 

そしてこの

ある瞬間の
速度を求める操作

は次のように微分を用いて

$$\Large \frac{dx}{dt}$$

とかけます。
(読み方は「ディーエックスディーティー」)

これは微分を解説した箇所でも解説したように
$d$とても小さい数を表し

とても小さい
位置の変化$dx$を

とても小さい
時間の変化$dt$で割っている

というように見ることができます。

 

このようなわけで

$$\Large \frac{dx}{dt}$$


ある瞬間における
位置の変化の大きさ

つまり
ある瞬間における
物体の速度

を表せるわけです。

 

そしてこれは速度を$v(t)$として

$$\Large v(t)= \frac{dx}{dt}$$

とかけます。

 

速度について

速度$v$も位置と同様に
時間の関数です。

つまり速度も時間と共に変化し
ある時刻では5m/sだったのが
ある時刻では10m/sになったりしています。

速度に関しては位置$x$のように
静止画として視覚化できないので
ここは皆さんが想像力を働かす必要があります。

しかしやることとしては先ほどと
同じなので安心してください。

先ほど位置の瞬間の変化
考えたのと同様に、次は

ある瞬間の
速度の変化

を考えていきましょう。

 

まずある時刻$t_1$と$t_2$における速度を
それぞれ$v_1$と$v_2$とすると

物体の速度は平均で
毎秒どれぐらい変化したか
つまり
(平均の)加速度

$$\Large \frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}$$

と表せます。

そして$v_1$と$v_2$の差を$\Delta v$とおき
$t_1$と$t_2$の差を$\Delta t$とおくと
次のようにかけます。

$$\Large \frac{\Delta v}{\Delta t}$$

 

そして瞬間の速度の変化を見たいので
位置の場合と同様に
$t_2$をどんどん$t_1$に近づけていき
$\Delta t$を0に近づけていく場合を考えます。

これは

とても小さい
速度の変化を表す$dv$

とても小さい
時間の変化を表す$dt$

を用いて

$$\Large \frac{dv}{dt}$$

とかけます。
(読み方は「ディーブイディーティー」)

つまりこの式は

ある瞬間の
速度の変化の大きさ

を表しており、この変化の大きさを

加速度

と言うわけです。

加速度は通常$\large a$と書かれ

$$\Large a=\frac{dv}{dt}$$

のように書かれます。

 

位置、速度、加速度の関係まとめ

以上の関係を数式でまとめましょう。

この際次の事項を思い出してください。

微分積分の逆の操作
積分微分の逆の操作

(このことがピンとこない方は以下参照)

微積物理で重要な『微分』と『積分』の関係について

2020年9月10日

 

このことも考慮すると
位置と速度と加速度の関係
次のようになります。

以上のような理由で

$x$を時間で微分すると
$v$に
なりますし
$v$を時間で微分すると
$a$に
なります。

逆に
$a$を時間で積分すると
$v$になりますし
$v$を時間で積分すると
$x$になるわけです。

 

加速度は位置$x$を2回微分している

ここで速度と加速度の関係
表す次の式を見てください。

$$\Large \frac{dv}{dt}=a(t)$$

ここに位置と速度の関係
を表す次の式を代入しましょう。

$$\Large v(t)=\frac{dx}{dt}$$

 

すると次のようになります。

$$\Large \frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}v(t)=a(t)$$
$$上式に\large v(t)=\frac{dx}{dt}を代入$$
$$\Large \frac{d}{dt} \frac{dx}{dt}=a(t)$$

つまり加速度については

位置を時間で1度微分し
もう1度時間で微分すると
加速度になる

ということが言えます。

 

そして上の表記はもっと簡潔に

$$\Large \frac{d^{2}x}{dt^2}=a(t)$$

というように表現され、これは

時間の2階微分

と呼ばれます。

 

これは次の記事で話す

運動方程式

で非常に重要となります。

 

表記の仕方

ここまで位置、速度、加速度の
時間の微分に基づく関係
について話してきました。

 

ここで速度は$v$
加速度は$a$のように書きましたが
通常他の書き方をします。

それは次のようなものです。

$$\Large v(t)=\dot{x} (t)$$
$$\Large a(t)=\ddot{x}(t)$$

上の点(ドット)の数は

時間で微分した
回数
を表す

ということに気づけばすぐになれます。

読み方としては
「エックスドット」
「エックスツードット」
という感じです。

以後この表記を主に使っていくので忘れないように。

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