覚えなくていい!『単振動の公式』の導出の仕方

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今回は力学における
微積物理の集大成とも言える

単振動

について解説していきます。

 

単振動とは

単振動とは次の画像のように

時間と共に変位(位置)が
振動する運動

のことを言います。

 

よくある単振動の例は
振り子やバネで繋がった物体などです。

 

単振動には三角関数

先ほどのグラフの
単振動をする物体の変位(位置)の時間変化
結論から書くと次のような数式で表されます。

$$\Large x \small (t) \Large = A\sin \omega t + B \cos \omega t$$
$$\Large (A, B, \omega は定数)$$

ひとまず、これらに登場する
定数の意味は置いておきます。

上式を見て

え、なんで
波を表現するのに

サインとコサインを足すの??

と混乱している人もいるかもしれませんが
これは

三角関数の合成

を思い出すとよくわかります。

 

先ほどに式において
三角関数の合成を行うと

\begin{equation}
\begin{split}
&\Large A\sin \omega t + B \cos \omega t \\
\\
&\Large = C \sin ( \omega t+ \alpha )\\
\end{split}
\end{equation}
$$\large ここで、C=\sqrt{A^{2}+B^{2}}$$

というように、1つの三角関数で
表すことができます。

この$\alpha$は以下の画像のように
初期の位置を表す適当な定数です。

このように描かれれば
三角関数のグラフを一度でもみたことのある場合
単振動の時間変化が三角関数で表されること
なんとなく納得がいくと思います。

しかしまだ「なんとなく」です。

これからそれをもっとクリアにしていきます。

 

壁にバネで繋がった物体

まず次のような物体を考えます。

最初バネは自然長にあったとして
その長さを$\large x_0$とします。

そしてそこから少しずらし物体を運動させます。
ただし地面との摩擦はありません。

このような状況において物体の運動を考えてみましょう。

まず物体に働く力を書いてみましょう。
この時物体に働く力は

重力
垂直抗力
バネの弾性力

この3つです。

図示すると次のようになります。

では次に、自分で座標をとって
正の向きを決めます。

 

この場合次のような座標をとることにします。

ではこの場合の運動方程式
を立てていきましょう。

1つ注意なのが、今回の場合
$x$方向だけではなく$y$方向も考える必要があり
そのため運動方程式は2つになる、ということです。

$x$方向に1つ、$y$方向に1つ運動方程式を
立てなくてはなりません。

この場合大事なのは$x$方向の運動なので
まずはそこから解説し
最初は$y$方向のことは忘れてください。

後でy方向の運動については解説します。

 

$x$方向の運動

ではまず$x$方向からです。

先ほどの力を書いた画像において
$x$方向のみに注目すると
次のようになります。

このバネのバネ定数を$\large k$
自然長$x_0$からの伸び(または縮み)を$x$
とするとバネの弾性力の大きさは

$$\Large (弾性力の大きさ)= kx$$

と表されます。

ただこの場合先ほど図示したように
弾性力は負の方向を向いているので
物体に働く力は

$$\Large F= -kx$$

です。

 

これを運動方程式に代入すると

$$\Large m\ddot{X}= -kx$$
$$\large (X=x_{0}+x)$$

となります。

ここでなぜ$x$ではなくて
$X$なのか疑問に思ったでしょう。

その理由は

$x$は物体の位置を
表していない

からです。

$x$の意味を思い出すと次の画像のように

自然長$x_0$からの
伸び、または縮み

を表すのでした。

つまり自然長のところで$x$は0になります。

そしてそれより右では正に
左では負になります。

しかしこの場合
位置の原点$(X=0)$は壁になるように
座標をとったはずです。

 

このように$x$は

物体の位置とは別物

ということに注意してください。

そして物体の位置とは
バネの自然長$(x_0)$にバネの伸び$(x)$
または縮みを加えたものです。

つまり次のように表されます。

$$\Large X= x_0 + x $$
$$\large (縮んでいる時はx<0)$$

そして運動方程式は以下のようになります。

$$\Large m \frac{d^{2}}{dt^{2}}(x_0 + x) = -kx$$

 

ここで右辺の次の微分に注目しましょう。

$$\Large \frac{d^{2}}{dt^{2}}(x_0 + x) $$

これを計算していきます。

すると

$$\Large \frac{d^{2}}{dt^{2}}(x_0 + x) = \frac{d^{2}}{dt^{2}}x_0 + \frac{d^{2}}{dt^{2}}x\small (t)$$

$x_0$は定数なので
定数の微分として0となり消えます。
よって

\begin{equation}
\begin{split}
\Large \frac{d^{2}}{dt^{2}}(x_0 + x) &= \Large \frac{d^{2}}{dt^{2}}x\small (t)\\
\\
\Large &= \Large \ddot{x}
\end{split}
\end{equation}

このことからさらに運動方程式を書き直すと

$$\Large m\ddot{x}= -kx$$

となります。

さぁこれで運動方程式の完成です。

運動方程式さえ立てることができれば
あとはもう悩む必要はありません。

計算を行うだけです。

 

運動方程式を解く

先ほど立てた運動方程式を詳しくみてみましょう。

$$\Large m\ddot{x}= -kx $$

両辺を$\large m$で割り、次のようにします。

$$\Large \ddot{x}= -\omega^{2}x$$
$$\large \omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$$

$\omega$の意味については後ほど解説。

これは$\large x \small (t)$を求める微分方程式ですが

実は今までのように
両辺を積分するやり方ではうまくいきません。

この場合ちょっとした推測
が必要になります。

先ほどの運動方程式を眺めると

$x$を二回微分すると
元の関数$x$に戻って定数$\omega$がつく

ことが読み取れますよね?

このことから

二回微分すると
元に戻りそうな関数

を考えてみます。

 

この時思い出して欲しいのが

三角関数の微分

です。

三角関数の微分は次のようになるのでした。

$$\Large \frac{d}{dt}\sin t = \cos t $$

$$\Large \frac{d}{dt}\cos t = -\sin t$$

つまり三角関数は微分するごとに
(符号は別として)
サイン→コサイン→サイン→コサイン→…
というように交互に入れ替わると言えます。

つまりサインを2回微分すると
サインに戻りますし、
コサインを2回微分すると
コサインに戻ります。

この性質は先ほどの運動方程式において
みられる性質と同じです!

ということでサインとコサインを両方含む
以下の式を運動方程式の
左辺に試しに代入してみましょう。

$$\Large x \small (t) \Large = A\sin \omega t + B \cos \omega t$$
$$(A,Bは定数)$$

すると

 

\begin{equation}
\begin{split}
\Large \ddot{x}&\Large = \frac{d^2}{dt^{2}}(A\sin \omega t + B \cos \omega t) \\
\\
&\Large = \frac{d}{dt}(A\omega \cos \omega t – B\omega \sin \omega t)\\
\\
&\Large = -A\omega^{2} \sin \omega t – B\omega^{2} \cos \omega t\\
\\
&\Large = -\omega^{2}(A\sin \omega t + B \cos \omega t) \\
\\
&\Large = -\omega^{2} x
\end{split}
\end{equation}

となり確かにこれは運動方程式の
解であることがわかります。

補足
ここで用いたのは
合成関数の微分です。

合成関数の微分がピンとこないかたはこちら

【高校生向け】初心者でもわかる微積物理のための『積分』

2020年9月10日

ついでに三角関数の合成をした
次の式

$$\Large x \small (t) \Large = C\sin(\omega t + \alpha ) $$

も同じように代入してみましょう。

すると

\begin{equation}
\begin{split}
\Large \ddot{x}&\Large = \frac{d^{2}}{dt^{2}}C\sin(\omega t + \alpha )\\
\\
&\Large = \frac{d}{dt}\omega C\cos(\omega t + \alpha )\\
\\
&\Large = -\omega^{2} C\sin (\omega t + \alpha )\\
\\
&\Large = -\omega^{2}x
\end{split}
\end{equation}

となりこれも運動方程式の解だとわかります。

このようにして単振動の運動方程式は
解かれ、その運動を表す数式

$$\Large x \small (t) \Large = A\sin \omega t + B \cos \omega t$$
$$(A,B は定数)$$

または
$$\Large x \small (t)= \Large  C\sin(\omega t + \alpha ) $$
$$(C, \alpha は定数)$$

が得られます。

 

ここで$\omega$は角振動数と言い、
これは振動の速さを表しており
角振動数が大きければその振動は速く
角振動数が小さければその振動は遅いことを意味します。

 

速度の式を導く

速度は

変位を
時間で微分したもの

でした。

つまり

$$\Large x \small (t) \Large = A\sin \omega t + B \cos \omega t $$

の両辺を時間で微分すると速度になります。

ということで
両辺を時間で微分すると

$$\Large \dot{x} = \omega A\cos \omega t –  \omega B \sin \omega t$$
$$(合成関数の微分)$$

となり、これが速度になります。

$$\Large v \small (t) \Large = \omega A \cos \omega t – \omega B \sin \omega t$$

 

加速度の式を導く

運動方程式から明らかではありますが
念のため、別のアプローチで
単振動の加速度を求めていきます。

加速度は

速度を時間で微分すると

得ることができます。

 

そこで先ほど求めた

$$\Large v \small (t) \Large = \omega A \cos \omega t – \omega B \sin \omega t$$

の両辺を時間で微分します。

すると

\begin{equation}
\begin{split}
\Large \dot{v} & \Large = \ddot{x} \\
\\
&\Large = -\omega^{2}A \sin \omega t –  \omega^{2} B \cos \omega t \\
\\
&\Large = -\omega^{2}(A \sin \omega t + B \cos \omega t)\\
\\
&\Large = -\omega^{2}x
\end{split}
\end{equation}

となりこれが加速度の式となります。

$$\Large a=-\omega^{2}x$$

 

定数を求める

次に定数$\large A,B$を求めていきましょう。

ここで運動方程式を解くために
必要な事項を思い出してください。

そう。その条件とは

初期条件

のことです。

補足
このことがピンとこない方は
こちら

微積物理における3つの重要事項

2020年9月14日

 

先ほどの求めた式は以下のようなものでした。

$$\Large x \small (t) \Large = A\sin \omega t + B \cos \omega t$$
$$(A,Bは定数)$$

 

ここで初期$(t=0)$の変位(位置)を考えてみましょう。

先ほどの式に$t=0$を代入して

$$\Large x \small (0) \Large = B $$

よって

$$\Large B = x \small (0)$$

であることがわかり$\large B$は
初期位置を表すことがわかりました。

 

次に$\large A$についてです。

先ほどは初期の変位を考えましたが
今回は初期の速度(初速度)
を考えていきます。

速度は次式で与えられるのでした。

\begin{equation}
\begin{split}
\Large v \small (t) &\Large = \dot{x} \\
\\
&\Large =\omega A \cos \omega t – \omega B \sin \omega t $$
\end{split}
\end{equation}

ここに$t=0$代入します。
すると

$$\Large v\small(0) \Large = \omega A$$

よって$\large A$の値は

$$\Large A= \frac{v\small(0)}{\omega}$$

と求まります。

 

以上の値を元の式に代入すると
最終的ににもとまる式は次の式になります。

$$\Large x\small (t) \Large = \frac{v\small(0)}{\omega} \sin \omega t + x \small (0) \Large \cos \omega t $$

 

仮に最初自然長から$L$だけ伸ばし、
初速度0で運動をさせた、つまり
$\large x \small (0) \large = L , v \small(0) \large = 0$
という場合には

$$\Large x\small (t) \Large =  L \cos \omega t $$

となり、見慣れた形になります。

 

変位には要注意!

先ほど求めた次の式

$$\Large x\small (t) \Large = \frac{v\small(0)}{\omega} \sin \omega t + x \small (0) \Large  \cos \omega t $$

で満足したくなるかもしれません。

 

だがしかし!
このままでは終われません。

というのも既に述べましたが
$x$は物体の位置ではなく、

バネの自然長からのズレ

を表しているからです。

そのため先ほど設定した座標において
物体の位置$X$を求めるのなら、

$$\Large X= x_0 + x \small(t) $$
より
$$\Large X \small(t) \Large = x_0 + \frac{v\small(0)}{\omega} \sin \omega t + x \small (0) \Large \cos \omega t $$

となります。

自分が最終的に得たいものはなんなのか
その変数が意味するものはなんなのか、
ということに注意しましょう。

 

座標を変えれば答え方ももちろん変わる

先ほどは次の画像のように

壁を原点としたために

$$\Large X \small(t) \Large = x_0 + \frac{v\small(0)}{\omega} \sin \omega t + x \small (0) \Large \cos \omega t $$

というように変位は表されました。

しかしこの表記はぶっちゃけ
$\large x_0$が邪魔です。

 

そこで先ほどとは違って次のように
座標を取り直して考えてみましょう。

この時自然長の位置が原点です。

つまり縮んでいる時物体の位置は負であり
伸びている時物体の位置は正です。

このようにすると

バネの自然長からのズレ
=物体の位置
つまり

$$\Large X = x\small (t) $$

となるので運動方程式は

$$\Large m\ddot{x}= -kx$$

となり、これまでと同じように
運動方程式を解いて

$$\Large x\small (t) \Large = \frac{v\small(0)}{\omega} \sin \omega t + x \small (0) \Large  \cos \omega t $$

となり今回は
これだけで物体の位置を表します。

このように

座標の取り方次第で

表現の仕方が変わることに注意してください。

ただし

実際に起こっていることは
同じである

ことには注意です。

あくまで変わるのは
表し方だけです。

 

$y$方向の運動

それでは蔑ろにしていた$y$方向について
丁寧に解説していきます。

$y$方向に働く力は
重力垂直抗力です。

鉛直上向きが正であることに
注意すると$y$方向の力は

$$\Large F = N – mg$$

と書けます。

 

これを基に運度方程式を立てると

$$\Large m\ddot{y}= N – mg $$

となります。
(この時$N$の具体的大きさはまだ不明です)

ここで垂直抗力があるので

束縛条件

を考えなくてはいけません。

補足
束縛条件について
ピンとこない方はこちら

高校物理をシステマティックに解くための『束縛条件』とは

2020年9月30日

 

この場合の束縛条件とは

$y$方向には動かない

というものです。

つまり

$$\Large \ddot{y}=0 $$

が言えます。

 

これを運動方程式に代入して

\begin{equation}
\begin{split}
\Large 0 = N – mg \\
\\
\Large N= mg
\end{split}
\end{equation}

このようにして$y$方向の力は
つり合っていることがわかり
$y$方向の運動は記述されます。

以上のように、公式を覚える以外に習わないような
単振動も、微積物理では
全て運動方程式によってつながるわけです。

それによって
変位、速度、加速度というように
わざわざ分けて覚える必要も皆無になります。

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