微積を使って『エネルギー』と『仕事』の関係・違いを解説

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今回は微積物理における

仕事とエネルギーの
違いと関係

について解説していきます。

 

高校物理の「仕事」と「エネルギー」

まず通常の高校物理において
仕事とエネルギーはどう習うか復習します。

復習が不要な方は
ここは読み飛ばしてもらって構いません。

次の節から読み始めてください。

仕事を$\large W$とし
エネルギーを$\large E$と書きます。

まず仕事$\large W$からです。

具体的な例として
次のような場合を想像してください。

この間に物体は$x_1~ x_2$を動きます。
そしてこの時の

物体に働く力$F$がする仕事

は次の式で表されます。

\begin{equation}
\begin{split}
\Large W &\Large = F(x_2- x_1)  \\
\\
&\Large = F\Delta x \\
(\Delta x &= x_2- x_1)
\end{split}
\end{equation}

補足
$\Delta$は「デルタ」と読みます。

この$\Delta x$は物体の運動の

初めから終わりまでの距離

を表します。

また

進行方向が力の向きと逆

である次のような場合を考えます。

この時

負の向きに力が働く

ことになるので力$\large F$のする仕事は

$$\Large W  =- F\Delta x $$

と表されます。

補足
このような場合の具体例としては
綱引きをしている時に

引っ張っているのに
向こうに引っ張られる場合

なんかが該当します。

以上のように「仕事」
習うでしょう。

では次に「エネルギー」についてです。

次は以下のように

バネに繋がれて
運動している物体

を考えてください。

この時物体のエネルギー$\large E$は
次のように表されます。
(バネ定数を$k$とする)

$$\Large E = \frac{1}{2}mv^{2} + \frac{1}{2}kx^{2}$$
$$(xは”自然長からの”伸び)$$

補足
エネルギーを考える時には
仕事とは違って力の向き
考える必要はありません。

以上のようにエネルギー」
は学ぶことでしょう。

 

これらは「普通の高校物理」では
ただ暗記しろとしか習いません。

そして両者の違いも曖昧です。

しかし微積物理を用いると
エネルギー仕事
違いと関係が鮮明になります。

 

エネルギーと仕事の関係

では微積物理を使っていきます。

具体的な状況として
次の画像のような状況を
思い浮かべてください。

この時地面には摩擦があるので

摩擦力が発生する

というのがポイントです。

摩擦がなければ物体のエネルギーは
保存されますが、摩擦があるために
そのエネルギーは保存されません。

ではこれらを具体的に
式として書いていきましょう。

物体に働く力は以下の通りです。

(重力、垂直抗力は無視)

動摩擦力バネの力
物体の運動に伴って

力の向きが反転する

ということに気をつけてください。

 

そして次に

バネの自然長を原点

として以下のように座標をとります。

 

では続いて運動方程式です。

バネの力を$\large F$
動摩擦力を$\large F’$とすると

$$\Large F= -kx$$

\begin{cases}
\Large F’ = -μmg \small(正の方向に動く時)\\
\Large F’ =  μmg \small(負の方向に動く時)
\end{cases}
$$\large (μは「動摩擦係数」)$$

と書けます。

見ての通り摩擦力は少し面倒なので
以下ではまとめて$\large F’$と書きます。

すると運動方程式は次のように書けます。

\begin{equation}
\begin{split}
\Large m\frac{d^{2}x}{dt^{2}} &\Large = -kx+ F’ \\
\\
\Large m \ddot{x} &\Large = -kx + F’
\end{split}
\end{equation}

ではこれを変形していきます。

補足
$\large x$の上の「‥」の
意味がわからないという人は
以下を参照してください。

微積物理における『位置』『速度』『加速度』の関係

2020年9月19日
↑「表記の違い」の節を確認

 

まず右辺のバネの力を表す項を以降します。

$$\Large m\ddot{x} + kx = F’$$

そして理由はともかく
両辺に$\dot{x}$ をかけます。

$$\Large m\ddot{x} \dot{x} + kx \dot{x} = F’ \dot{x}$$

上の式は物体が運動している間
いついかなる時も
成り立っている式です。

今、その物体の一連の運動から
一定の時間の運動を切り取った
次のような場合を考えます。

時間が経過↓

そしこれも理由はともかく
先ほどの式である

$$\Large m\ddot{x} \dot{x} + kx\dot{x} = F’\dot{x}$$

を時間$t$について
切り取った時間である$t_1 ~ t_2$の範囲で
定積分を実行します。

すると

\begin{equation}
\begin{split}
&\Large \int_{t_1}^{t_2} m\ddot{x} \dot{x} dt +\int_{t_1}^{t_2} kx\dot{x} dt\\
&\Large = \int_{t_1}^{t_2}F’\dot{x}dt\\
\\
&\large (m,k,F’は定数なので積分の外に出て)\\
\\
&\Large m \int_{t_1}^{t_2} \ddot{x} \dot{x} dt + k\int_{t_1}^{t_2}x\dot{x} dt \\
\\
&\Large = F’\int_{x_1}^{x_2}  dx \\
\\
&\Large \Big( \frac{1}{2}m {\dot{x_2}}^{2} + \frac{1}{2}k{x_2}^{2} \Big) \\
\\
&\Large – \Big(\frac{1}{2}m{\dot{x_1}}^{2} + \frac{1}{2}k{x_1}^{2} \Big) \\
\\
&\Large =F'(x_2 – x_1)\\
&x_2, x_1はそれぞれ時刻t_2, t_1での位置を表す。
\end{split}
\end{equation}

 

上の式では次の関係を使いました。

$$\Large \int \ddot{x} \dot{x} dt = \frac{1}{2}\dot{x}^{2} + C\small(積分定数) $$
$$\Large \int x\dot{x} dt = \frac{1}{2}x^{2} + C \small (積分定数)$$

\begin{align}
\Large \int_{t_1}^{t_2} F’\dot{x} dt &\Large=\int_{t_1}^{t_2} F’\frac{dx}{\bcancel{dt}}\bcancel{dt} \\
\\
&\Large =\int_{x_1}^{x_2}F’ dx
\end{align}

1つ目と2つ目の式は実際に右辺を時間で
微分(合成関数の微分)することで
確かめられます。

合成関数の微分がわからない方は
こちらを参照

【高校生向け】初心者でもわかる微積物理のための『微分』

2020年9月8日

また最後3つ目の関係がわからない方は
こちらを参照してください
『リンク』

では運動方程式から求めた
以下の式に戻ります。

$$\Large ( \frac{1}{2}m {\dot{x_2}}^{2} + \frac{1}{2}k{x_2}^{2} ) – (\frac{1}{2}m{\dot{x_1}}^{2} + \frac{1}{2}k{x_1}^{2} ) =F'(x_2 – x_1)$$

この式は、先ほども挙げた
以下の画像のような状況において

左辺は

時刻$t_1~t_2$における
エネルギーの変化量

を表しており、右辺は

時刻$t_1~t_2$の間に
摩擦力がした仕事

を表しています。

つまり

エネルギーの変化=仕事

という物理でよく見る
関係が導かれているわけです。

 

「仕事」と「エネルギー」の違いって何?

仕事とエネルギーというと
とてもややこしいイメージを
持っている人もいるかもしれません。

僕も高校物理を習った当初は
何が違うのかよくわかりませんでした。

学校で配られる教科書にも

微積を使わないために

混乱を招く表現が使われており
ますますわからなくなりました。

しかし微積を使った
先ほどの式を導く流れを
思い出してください。

言葉だけで書くと

①運動方程式を用意する

②適当な移項を行う

③$\dot{x}$を両辺に掛ける

④積分する

という感じです。

 

そしてこの場合において

仕事とエネルギーの違い

というのは

左辺に書かれたか
右辺に書かれたか

の違いでしかありません。

そして、その違いは

左辺→エネルギー
右辺→仕事

という風になります。

 

そしてこれこそが
本当の意味での

仕事とエネルギーの違い

です。

今までこれらの違いを
他の言い方で教わったかもしれません。

しかしそれらは
全て忘れてもらって大丈夫です。

 

今回の場合、式変形の途中で
左辺にバネの弾性力の項を移し
右辺には動摩擦力のみ残しました。

その結果右辺には

動摩擦力がした仕事

が現れました。

そして左辺には

バネの弾性力のエネルギー

が現れました。

ここでもし右辺に
バネの弾性力を残していれば
エネルギーと仕事の違いは

左辺なのか、右辺なのか

という違いだけなので

$$\Large W= \int_{x_1}^{x_2}Fdx $$

という仕事の定義式を通して

バネの弾性力がした仕事

を求めることだってできます。

補足
仕事とは何か
について詳しくは以下参照

仕事とエネルギーの違いは
ただこれだけです。

 

ここで

なんで左辺と右辺の違いしかないのに
呼び名が違うんだよ

と疑問に思う人もいるでしょう。

その理由は物理学を始めた偉い人たちが

右辺と左辺の量を
区別するために

別の名前をつけたためです。

 

ただの炭素の塊に

「ダイアモンド」

と名前がつけられたのと変わりありません。

ただそれだけのことなので
難しく考えないようにしましょう。

繰り返しますが

仕事とエネルギーの違い

運動方程式に$\dot{x}$を掛けて
時間で積分した結果の左辺と右辺

でしかありません。

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