【高校生向け】初心者でもわかる微積物理のための『微分』

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微分の概説

ここからは微積物理を勉強する上で
とても大事な数学である

微分

について解説していきます。

 

難しそうだと身構えるかもしれませんが
初学者にもわかるように心がけたので
難しく考え過ぎないように!

 

微分はとてもシンプルです。

それではまず次のように
とある関数$y=f(x)$のグラフを考えます。

そしてどこでもいいので
座標がそれぞれ
$(x_a, f(x_a))$と$(x_b, f(x_b))$
である点A点Bを定め
次のように直線で繋ぎます。

この直線AB
傾きまたは平均変化率

$$\Large \frac{y座標の変化}{x座標の変化}$$

で与えられるので
次のように書くことができます。

$$\Large 傾き=\frac{f(x_b)-f(x_a)}{x_b-x_a}$$

ではこの適当にとった
点B点A

どんどん近づけていく

と先ほどのような
直線はどうなるでしょうか。

これは図に示すと
次のようになります。

上の図のように
その直線ABはだんだん

関数$f(x)$の
点Aにおける接線

に近づいていきます。

 

ではここからさらに

点Bを限りになく
点Aに近づけていく

ようにすると直線はどうなるでしょうか。

 

お察しの通り、最終的には

点Aにおける接線

になります。

ではこの時

ABの傾きの値

はどうなっていくでしょうか。

 

先ほど示したようにその値は

$$\Large 傾き=\frac{f(x_b)-f(x_a)}{x_b-x_a}$$

で与えられます。

そしてこの時
点Bを点Aに限りなく近づける
というのは上の式において
$\large x_b$を$\large x_a$にどんどん近づけることになります。

この操作は数式で

$$\large \lim_{x_b \to  x_a}\frac{f(x_b)-f(x_a)}{x_b-x_a}$$

と書かれます。

補足
この$\lim$は
何かの数を無限に
何かに近づける
ことを意味します。

これは
値を代入するわけではない
ので注意してください。

 

そして上の式はさらに
$\Delta x$と$\Delta f$を

$$\Large \Delta x= x_b-x_a$$
$$\Large \Delta f= f(x_b)-f(x_a)$$

で定義すると

$$(点Aでの傾き)=\Large \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}$$

とかけます。

 

そしてこのような

ある1点での
傾きを求める操作

のことを

微分

と言います。

微分はさらに
次のように表現されます。

$$\Large \frac{df}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}$$

上の式は「d」を「微小」を意味するものだと考え

$f(x)$の微小な変化$df$を
$x$の微小な変化$dx$で
割っている

というような覚え方を
すると良いです。

そしてこのような覚え方をすれば
これは一般的な
直線の傾きの求め方である

$$\Large \frac{y座標の変化}{x座標の変化}$$

と一致します。

 

また微分は

$$\Large \frac{df}{dx}= \frac{d}{dx}f(x) = f'(x)$$

のように書く場合もあり
どちらの場合にしてもこの操作を

$f(x)$を$x$で微分する

と言います。

 

以上が微分の説明になります。

簡単だったでしょ?

疑問があれば
遠慮なく質問してください!

 

一般的な微分の公式

次に

一般的な微分の公式

を以下に列挙します。

もちろん数学的な証明はできますが
それは物理への応用には必要ありません。

物理で微積を使う場合には以下の式は
結局「覚える」ほど使うので
最初から以下の式は

なんでかわかんないけど
とりあえずこいつらは成り立つんだな

と了解してしまって覚える方が得策です。

補足
数学の勉強を進めていけばいずれ
以下の公式の証明を
勉強することになります。

定数の微分

$$\Large \frac{d}{dx}C(定数)=0$$

つまり

定数の微分は0

になります。

 

べき関数の微分

べき関数とは
$x^{n}$のような形の関数です。

$$\Large \frac{d}{dx}x^{n} = nx^{n-1}$$

 

サインの微分

$$\Large \frac{d}{dx}\sin x = \cos x $$

 

コサイン微分

$$\Large \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$$

 

指数関数の微分

$$\Large \frac{d}{dx}e^{x} = e^{x} $$

この$e$は
自然対数
と呼ばれる定数です。

上式のように
その指数関数は

微分しても
形が変わらない

という著しい特徴を持ちます。

 

その他大事な微分

関数の和の微分

$$\Large \frac{d}{dx}\{f(x)+g(x)\}= f'(x)+g'(x)$$

つまり2つの関数の和
を微分する際は

それぞれを
個別に微分して足す

 

関数の積の微分

$$\Large \frac{d}{dx}f(x)g(x) =f'(x)g(x)+f(x)g'(x) $$

つまり2つの関数の積
となっている場合には

片方ずつ微分して足す

ということになります。

 

関数の中にさらに関数を含む場合

$$\Large \frac{d}{dx}f(z)= \frac{dz}{dx}\frac{df}{dz} $$
$$ {(zはxの関数)}$$

これに関しては具体例をあげた方が
わかりやすいと思うので
以下にその具体例を挙げます。

$例)(3x^{2}+6)^{5}の微分$

\begin{equation}
\begin{split}
\large \frac{d}{dx}(3x^{2}+6)^{5} &= (3x^{2}+6)’ \times 5(3x^{2}+6)^4 \\
\large &= 6x \times 5(3x^{2}+6)^4
\end{split}
\end{equation}

というようになる。

これはつまり$(3x^{2}+6)^{5}$の微分は
$(3x^{2}+6)$をひとかたまりに見て
$z=(3x^{2}+6)$と置くと、

中身($z$)の微分
を実行し、それに
外側($z^{5}$)の微分

をかけることで
求まるわけです。

 

微分の解説は以上になります。

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