微積物理で重要な『微分』と『積分』の関係について

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積分と微分の関係

今回は微積物理を学ぶ上で重要になる
微分と積分の関係について解説していきます。

ここの内容は以下の記事を読んだ人向けなので
微積初心者の高校生は以下の記事を
読んでみてください。

【高校生向け】初心者でもわかる微積物理のための『積分』

2020年9月10日

【高校生向け】初心者でもわかる微積物理のための『微分』

2020年9月8日

 

微分と積分の関係とはズバリ

積分は微分と逆の操作
であり、逆に
微分は積分と逆の操作

であるという関係です。

 

これはつまり次の画像のように

積分された関数は
微分によって
元に戻すことができる

ということであり、また

微分された関数は
積分によって
元に戻すことができる

ことを意味しています。

さらにこれを式で書くと

$$\Large \int f(x)dx = F(x) + C {(Cは積分定数)}$$

$$\Large \frac{d}{dx}F(x) = f(x) $$

$$\Large \frac{d}{dx}\int f(x)dx = f(x) $$

$$\Large \int \frac{d}{dx}f(x)dx = f(x)$$

というように表せます。

 

そしてこのような関係から

微分して元に戻るなら
その積分の結果は正しい
または
積分して元に戻るなら
その微分の結果は正しい

という判断が可能になるわけです。

 

積分定数(C)の意味

ここまで積分について

$$ \Large \int f(x)dx = F(x) + C$$

というように定数$ \large C$
付け足してきました。

ここからは

なぜ不定積分では
定数がつくのか

ということについて解説していきます。

 

まず『原始関数』とは何か、について
以下のような関係にある$\large F(x)$
原始関数というのでした。

$$\Large \int f(x)dx = F(x) + C$$

 

ここで上で述べた

積分と微分は
逆の操作に相当する

ということを思い出してください。

これはつまり上で示した原始関数の式は
次の式と同等であることを意味します。

$$\Large \frac{d}{dx}F(x) = f(x)$$

つまりこの式を満たす物が原始関数だとも言えるわけです。

 

ここで$\large F(x)+C$の微分を考えてみましょう。

すると定数の微分は0なので

$$\frac{d}{dx}\{F(x)+C\} = f(x)$$

という風になりちゃんと$f(x)$に
戻ってくれます。

つまり$F(x)$だけでなく
$\large F(x)+C{(なんでもいい)}$も原始関数と言えるわけです。

 

定数が加えられたものも
原始関数と言える
ために
次のように定数が加わるわけです。

$$\Large \int f(x)dx = F(x) + C$$

そしてこの定数Cを、一般的に

積分定数

と呼びます。

この積分定数が0であることも
もちろんあります。

 

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