【高校生向け】初心者でもわかる微積物理のための『積分』

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積分の概説

今回は初学者でもわかるように

積分

について解説していきます。

 

積分についても微分と同様に
難しい印象を持っているかもしれません。

しかしそんなことないので
難しく考え過ぎないように
読んでいってください。

積分も実はとてもシンプルです。

 

では、まず次のように
適当な関数(なんても良い)を考えます。

 

次に、ある区間
$a \leq x \leq b$を設定します。
(これもどこでも良い)

 

そして次の画像のようにこれらで囲まれた部分の
面積$\large S$を求めていきます。

 

まず区間を同じ幅で2個に分割して
それによってできる

長方形の集合

を考えてみましょう。

長方形の幅を$\Delta x$とすると
以下の画像のようになります。

 

ではさらに区間を同じ幅で
4個に分割した場合を考えます。

すると

 

このようにどんどん分割していき
N個に分割した場合を考えます。

すると

このようになります。

もう気づいた方もいるでしょうが
このようにして長方形を作ると

長方形の面積の合計

求めたい面積に近い

ことがわかります。

しかしこれは
近いだけです。

イコールではありません。

 

これをイコールで結ぶためには

Nを無限に大きくする

つまり

 

無限個に分割して
無限個の長方形の
合計を考える

 

ようにするとイコールで結ぶことができます。

この時分割の幅$\Delta x$
無限個に分割するわけなので
必然的に無限に小さくなります。

つまりこの状況は
次の画像のように

もはや直線と
みなせる長方形が
無限個並んでいる状態

と言えます。

 

では、これらを数式で
書くとどうなるでしょうか。

N個の長方形で分割する場合
左からn番目の長方形の位置を$\large x_n$
で表すと、その長方形1つの面積

$$\Large (縦\times 横)=f(x_n)\Delta x$$

と表されるので、
それら全てを足し合わせた全体の面積
和を表すΣ(シグマ)(下の補足参照)
の記号を用いて

$$\Large 面積の和= \sum_{n=0}^N f(x_n) \Delta x $$
$$(x_0=a, x_N=b)$$

と書き表されます。

補足

このΣは$f(x_n)$を
$x_n$の多項式とすると

$$\Large \sum_{n=0}^N f(x_n) $$

$f(x_n)$を$n$について
$n=0$から$N$まで足し合わせる

つまり、

$$ \sum_{n=0}^N f(x_n) =f(x_0)+f(x_1)+\cdots + f(x_n)$$

ということを意味します。

 

 

そして先程の

分割の数を
無限個に増やす操作

$$\Large \lim_{N \to \infty, \Delta x \to 0 } \sum_{n=0}^N f(x_n) \Delta x $$

というように表されます。

そしてこれこそが

積分の操作

に相当します。

 

つまり積分とは
インテグラル( $\int$ )という記号を用いて

$$ \int_a^b f(x) dx = \lim_{N \to \infty, \Delta x \to 0} \sum_{n=0}^N f(x_n) \Delta x$$
$$(ただしx_N=b,~~x_0=a)$$

のように表されます。

 

このインテグラルの記号の意味は

無限小を無限個
足し合わせる

ことだと考えると良いです。

 

$dx$は
微分でも説明したように

微小(無限に小さい)な$x$

を表し、$f(x)$は関数の値であるので
$\Large f(x)dx$

は次のように

横が$dx$
縦が$f(x)$である
無限に細い長方形の面積

であると言えます。

無限に細いわけなのでもはや一本の線

 

そして先に述べたように

この無限に細い長方形を
無限に並べる

ことで求めたい面積を作れることができ

$$\int$$

がこれらを全て足し合わせることを意味します。

 

これが積分であり、この場合

『$f(x)$をaからbまで積分する』

と言います。

 

ここで一つ注意しなければなりません。

考えやすさのため

積分とは面積だ

という風に述べてきました。

しかし実際には次のような関係にあります。

つまり面積は積分の
要素の一部でしかありません。

例えば負の範囲にある関数では
に当たる部分がになるので
負の面積というあり得ないことになります。

 

本当の積分とは

無限に小さい$f(x)dx$

$\int$で無限に足し合わせる操作

のことです。

 

無限に小いもの
無限に足し合わせるので
有限の数字
を求めることができます。

 

ここでよく$dx$を書き忘れがちです。
しかし$dx$をかけないと

無限に小さい量

にはならないので忘れないように。

以上が積分の説明になります。

ここまででわからない箇所があれば

遠慮せず質問してください!

 

具体的な積分の公式

以下に物理でよく使う積分の公式を載せます。

物理ではただの計算
してでてくるので、以下の公式は

なんかよくわからんけど
成り立つもの

ぐらいの感じで割り切って
覚えちゃいましょう。

補足
数学の勉強を進めていけばいずれ
以下の公式の証明も勉強することになります。

以降に積分定数Cが出てきますが
それについては次の記事で解説しています。
リンク

とりあえずは、
「そういう形になるんだな」
と納得しておいてください。

定数

$$\Large \int Adx = Ax + C {(Aは定数)}$$

 

べき関数

$$\Large \int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} +C $$

 

サイン

$$\Large \int \sin x dx = -\cos x + C $$

 

コサイン

$$\Large \int \cos x dx = \sin x + C $$

 

指数関数

$$\Large \int e^x dx = e^x +C$$

 

変数が定数倍された関数

$$\Large \int f(ax) dx = \frac{1}{a}F(ax) + C$$

 

$F(x)$の意味

$$\Large \int f(x)dx = F(x) + C $$

このような関係にある$F(x)$を

$f(x)$の原始関数

と言います。

 

 

 

2種の積分(定積分と不定積分)

積分には2種類あります。

それが

定積分

不定積分

です。

 

まず定積分とは次のように

積分する範囲が
決まっている積分

です。

\begin{equation}
\begin{split}
\Large \int_a^b f(x)dx &= \Large \left[ F(x) \right]^b_a \\
&\Large = F(b)-F(a)
\end{split}
\end{equation}

 

次に不定積分とは次のような

積分する範囲が
決まっていない積分

です。

$$\Large \int f(x)dx = F(x) + C $$

見比べると明らかなように

定積分では定数はつかず
ただ1つの「値」を知ることができる

のに対して

不定積分では定数がつき
1つの「関数」を知ることができる

という違いがあります。

 

物理において、わかると便利なのは「値」よりも「関数」であるので、
関数を求めることができる不定積分がより重要です。

 

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