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等加速度運動の公式一覧
等加速度運動というのは
文字通り
加速度が一定の運動
のことを指します。
加速度が一定なのであり
速度や位置は大きく変化する
ことには注意しましょう。
そしてこの運動は次の3つの公式があります。
$$\large x=v_0t+\frac{1}{2}at^2\tag{1}$$
$$\large v=v_0+at\tag{2}$$
$$\large v^2-v_0^2=2ax \tag{3}$$
この3つの公式を覚えても
使い所がわかっていないと
なんの意味もありません。
公式の使い分け
ということでそれぞれの公式の
使い分けを解説していきます。
また以下では
初速度と加速度
は予め与えられている
と仮定します。
位置と時間の公式について
まず
$$\large x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$$
からです。
この公式は、変数として
位置$x$と時間$t$
が含まれています。
つまり
時間$t$の値がわかっており
なおかつ
位置$x$を求めたい時
この公式が使えます。
またこの公式は
次のように
時間$t$についての
2次方程式
としても表されます。
$$\large t^2+\frac{2v_0}{a}t-\frac{2x}{a}=0$$
つまり
位置$x$がわかっており
なおかつ
時間$t$を求めたい時
にもこの公式が使えるわけです。
速度と時間の公式について
次に
$$\large v=v_0+at$$
についてです。
この公式は変数として
速度$v$と時間$t$
が含まれています。
つまり
時間$t$がわかっており
なおかつ
速度$v$を求めたい時
にはこの公式が使えます。
また先程の公式は次のように
時間$t$についての
1次式方程式
としても表されます。
$$\large t=\frac{v-v_0}{a}$$
つまり
速度$v$がわかっており
なおかつ
時間$t$を求めたい時
にもこの公式が使えます。
速度と位置の公式について
最後に
$$\large v^2-v_0^2=2ax$$
についてです。
この公式には変数として
速度$v$と位置$x$
が含まれており
時間$t$を含まない
という大きな特徴があります。
つまり
時間$t$について
何の情報も与えられていない
場合にはこの公式の出番となります。
位置$x$を知りたいのなら
$$x=\frac{v^2-v_0^2}{2a}$$
と変形することで
位置を求めることができます。
また速度$v$を知りたいのなら
$$\large v^2-(v_0^2+2ax)=0$$
と変形することで
$v$の2次方程式として
求めることができます。
表にまとめてみる
それぞれの公式について
その使い分けを解説してきましたが
これをまとめたものを以下に示します。
表の中には
変形して
使うべき公式
を表しています。

3つ目の公式の導出
等加速度運動の公式のうち
3つ目の公式は残り2つの公式から
導くことができます。
つまり実質的に覚えるのは
2つの公式ですみます。
ただの暗記だと
もしもの時にどうしようもないので
この導出もしっかり抑えておきましょう。
まず(2)式を次のように変形します。
$$\large t=\frac{v-v_0}{a}$$
そしてこれを(1)式に代入すれば
(1)式から変数$t$を
なくすことができます。
実際に代入していくと、
\begin{align}
\large x& \large =v_0t+\frac{1}{2}at^2\\
\\
\large x&\large =v_0\Big(\frac{v-v_0}{a}\Big)+\frac{1}{2}a\Big(\frac{v-v_0}{a}\Big)^2\\
\\
\large x&\large =\frac{vv_0-v_0^2}{a}+\frac{v^2-2vv_0+v_0^2}{2a}\\
\\
&両辺に2aをかけて\\
\\
\large 2ax & \large =(2vv_0-2v_0^2)+(v^2-2vv_0+v_0^2)\\
\\
\large 2ax & \large =v^2-v_0^2
\end{align}
とこのように(3)式が得られます。
上の流れが何も見ずに自分で
再現できるようになっておきましょう。
初速度と加速度を問われた時
ついでに
初速度($v_0$)と
加速度($a$)を
問われた時
についても、どの公式を使えばいいか
考えてみましょう。
考えることはとてもシンプルです。
最初にあげた次の3つの式
$$\large x=v_0t+\frac{1}{2}at^2\tag{1}$$
$$\large v=v_0+at\tag{2}$$
$$\large v^2-v_0^2=2ax \tag{3}$$
を$v_0$の式、または
$a$の式に変形するだけです。
初速度$v_0$を求めたい場合
まず(1)式は
$$v_0=\frac{x-\frac{1}{2}at^2}{t}$$
と変形されます。
この式の右辺は
加速度($a$)と位置($x$)と時間($t$)
が含まれています。
それ故、この公式を使う場合には
上の3つの値がわかっている
必要があります。
次に(2)式は
$$v_0=v-at$$
と変形されます。
この式の右辺は
加速度($a$)と速度($v$)と時間($t$)
を含まれています。
それ故、この公式を使う場合には
上の3つの値がわかっている
必要があります。
最後に(3)式は
$$v_0^2=v^2-2ax$$
と変形されます。
この式は右辺に
加速度($a$)と速度($v$)と位置($x$)
が含まれています。
それ故、この公式を使う場合には
上の3つの値がわかっている
必要があります。
加速度$a$を求めたい場合
まず(1)式は
$$a=\frac{2(x-v_0t)}{t^2}$$
と変形されます。
この式は右辺に
位置($x$)と初速度($v_0$)と時間($t$)
が含まれています。
それ故、この公式を使う場合には
上の3つの値がわかっている
必要があります。
次に(2)式は
$$a=\frac{v-v_0}{t}$$
と変形されます。
この式は右辺に
速度($v$)と初速度($v_0$)と時間($t$)
が含まれています。
それ故、この公式を使う場合には
上の3つの値がわかっている
必要があります。
最後に(3)式は
$$a=\frac{v^2-v_0^2}{2x}$$
と変形されます。
この式は右辺に
速度($v$)と初速度($v_0$)と位置($x$)
が含まれています。
それ故、この公式を使う場合には
上の3つの値がわかっている
必要があります。
表にまとめてみる
これらも表にまとめてみましょう。
表の中は
変形して
使うべき公式
が入っています。

まとめ
それでは今回のまとめです。
- 等加速度運動の公式は
「求めたいもの」と
「値がわかっているもの」
によって使い分ける!
加速度と初速度を求める時も同じ! - 3つ目の公式は自分で導けるようにする!
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