もう迷わない!等加速度運動の公式の『使い分け方』を表を用いて解説!

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等加速度運動の公式一覧

等加速度運動というのは
文字通り

加速度が一定の運動

のことを指します。

加速度が一定なのであり
速度や位置は大きく変化する
ことには注意しましょう。

そしてこの運動は次の3つの公式があります。

$$\large x=v_0t+\frac{1}{2}at^2\tag{1}$$

$$\large v=v_0+at\tag{2}$$

$$\large v^2-v_0^2=2ax \tag{3}$$

この3つの公式を覚えても
使い所がわかっていないと
なんの意味もありません。

 

公式の使い分け

ということでそれぞれの公式の
使い分けを解説していきます。

また以下では

初速度と加速度
は予め与えられている

と仮定します。

 

位置と時間の公式について

まず

$$\large x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$$

からです。

この公式は、変数として

位置$x$と時間$t$

が含まれています。

つまり

時間$t$の値がわかっており
なおかつ
位置$x$を求めたい時

この公式が使えます。

またこの公式は
次のように

時間$t$についての
2次方程式

としても表されます。

$$\large t^2+\frac{2v_0}{a}t-\frac{2x}{a}=0$$

つまり

位置$x$がわかっており
なおかつ
時間$t$を求めたい時

にもこの公式が使えるわけです。

 

速度と時間の公式について

次に

$$\large v=v_0+at$$

についてです。

この公式は変数として

速度$v$と時間$t$

が含まれています。

つまり

時間$t$がわかっており
なおかつ
速度$v$を求めたい時

にはこの公式が使えます。

また先程の公式は次のように

時間$t$についての
1次式方程式

としても表されます。

$$\large t=\frac{v-v_0}{a}$$

つまり

速度$v$がわかっており
なおかつ
時間$t$を求めたい時

にもこの公式が使えます。

 

速度と位置の公式について

最後に

$$\large v^2-v_0^2=2ax$$

についてです。

この公式には変数として

速度$v$と位置$x$

が含まれており

時間$t$を含まない

という大きな特徴があります。

つまり

時間$t$について
何の情報も与えられていない

場合にはこの公式の出番となります。

 

位置$x$を知りたいのなら

$$x=\frac{v^2-v_0^2}{2a}$$

と変形することで
位置を求めることができます。

また速度$v$を知りたいのなら

$$\large v^2-(v_0^2+2ax)=0$$

と変形することで
$v$の2次方程式として
求めることができます。

表にまとめてみる

それぞれの公式について
その使い分けを解説してきましたが
これをまとめたものを以下に示します。

表の中には

変形して
使うべき公式

を表しています。

 

3つ目の公式の導出

等加速度運動の公式のうち
3つ目の公式は残り2つの公式から
導くことができます。

つまり実質的に覚えるのは
2つの公式ですみます。

ただの暗記だと
もしもの時にどうしようもないので
この導出もしっかり抑えておきましょう。

まず(2)式を次のように変形します。

$$\large t=\frac{v-v_0}{a}$$

そしてこれを(1)式に代入すれば
(1)式から変数$t$を
なくすことができます。

実際に代入していくと、

\begin{align}
\large x& \large =v_0t+\frac{1}{2}at^2\\
\\
\large x&\large =v_0\Big(\frac{v-v_0}{a}\Big)+\frac{1}{2}a\Big(\frac{v-v_0}{a}\Big)^2\\
\\
\large x&\large =\frac{vv_0-v_0^2}{a}+\frac{v^2-2vv_0+v_0^2}{2a}\\
\\
&両辺に2aをかけて\\
\\
\large 2ax & \large =(2vv_0-2v_0^2)+(v^2-2vv_0+v_0^2)\\
\\
\large 2ax & \large =v^2-v_0^2
\end{align}

とこのように(3)式が得られます。

上の流れが何も見ずに自分で
再現できるようになっておきましょう。

初速度と加速度を問われた時

ついでに

初速度($v_0$)と
加速度($a$)を
問われた時

についても、どの公式を使えばいいか
考えてみましょう。

考えることはとてもシンプルです。

最初にあげた次の3つの式

$$\large x=v_0t+\frac{1}{2}at^2\tag{1}$$

$$\large v=v_0+at\tag{2}$$

$$\large v^2-v_0^2=2ax \tag{3}$$

を$v_0$の式、または
$a$の式に変形するだけです。

 

初速度$v_0$を求めたい場合

まず(1)式は

$$v_0=\frac{x-\frac{1}{2}at^2}{t}$$

と変形されます。

この式の右辺は
加速度($a$)と位置($x$)と時間($t$)
が含まれています。

それ故、この公式を使う場合には
上の3つの値がわかっている
必要があります。

 

次に(2)式は

$$v_0=v-at$$

と変形されます。

この式の右辺は
加速度($a$)と速度($v$)と時間($t$)
を含まれています。

それ故、この公式を使う場合には
上の3つの値がわかっている
必要があります。

 

最後に(3)式は

$$v_0^2=v^2-2ax$$

と変形されます。

この式は右辺に
加速度($a$)と速度($v$)と位置($x$)
が含まれています。

それ故、この公式を使う場合には
上の3つの値がわかっている
必要があります。

 

加速度$a$を求めたい場合

まず(1)式は

$$a=\frac{2(x-v_0t)}{t^2}$$

と変形されます。

この式は右辺に
位置($x$)と初速度($v_0$)と時間($t$)
が含まれています。

それ故、この公式を使う場合には
上の3つの値がわかっている
必要があります。

 

次に(2)式は

$$a=\frac{v-v_0}{t}$$

と変形されます。

この式は右辺に
速度($v$)と初速度($v_0$)と時間($t$)
が含まれています。

それ故、この公式を使う場合には
上の3つの値がわかっている
必要があります。

 

最後に(3)式は

$$a=\frac{v^2-v_0^2}{2x}$$

と変形されます。

この式は右辺に
速度($v$)と初速度($v_0$)と位置($x$)
が含まれています。

それ故、この公式を使う場合には
上の3つの値がわかっている
必要があります。

 

表にまとめてみる

これらも表にまとめてみましょう。

表の中は

変形して
使うべき公式

が入っています。

 

まとめ

それでは今回のまとめです。

  • 等加速度運動の公式は
    「求めたいもの」と
    「値がわかっているもの」
    によって使い分ける!
    加速度と初速度を求める時も同じ!
  • 3つ目の公式は自分で導けるようにする!

 

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