自由落下・鉛直投げ上げ・鉛直投げ下ろしの公式とその導出まとめ!

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自由落下・鉛直投げ上げ・鉛直投げ下ろしの公式一覧

  • 自由落下
  • 鉛直投げ上げ
  • 鉛直投げ下ろし

以上3つの運動は
重力加速度を$g$として
次のような公式で表されます。

(全て上向きを正とした場合。
$v_0$は初速度の大きさを表す。)

これらの公式はただ単に
覚えろと習うかもしれません。

しかしそれは
物理ができない人の典型例です。

先程の3つの式は

等加速度運動の公式

から導けるものであり覚えるものは
次の等加速度運動の公式だけですみます。

$$\large x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$$

$$\large v=v_0+at$$

$$\large v^2-v_0^2=2ax$$

 

それぞれの公式の導き方

それではここから
実際に等加速度運動の公式から
先程の式を導いてきます。

「物理学できる人」
になりたい人はちゃんと
以下をマスターしましょう。

 

まず「方向」をよく考えよう

物理においては

方向

がとても大事です。

方向の重要性を理解することは
物理の理解に不可欠なので
これからは

どの方向を向いているか

というのに注意を払いながら
読み進めてください。

補足
「方向」の重要性が
よくわかってないという方はこちら

加速度にはどんな時にマイナスをつけるのか。その意味を徹底解説

2021年4月16日

 

自由落下

では自由落下を考えていきます。

次のような場合を考えます。

下向きを「正の向き」とする時

落とし始める高さ
を原点とし、次のように

下向きを
正とした座標

を取ります。

すると

となります。

 

この時の物体は
下向きの重力加速度
を持っています。

つまりそれは
正の方向を向いています。

それゆえ今その加速度は

$$\Large a=(+)g$$
(下向きを正としたので符号は正!)

で与えられます。

また、「自由落下」
とはつまり

初速度を与えず
(下向きに投げたりせず)
ただ落とす

運動を指します。

それゆえ初速度$v_0$は$0$です。

以上を加速度運動の次の公式

$$ x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$$

$$\large v=v_0+at$$

$$\large v^2-v_0^2=2ax$$

に代入して

$$ y=\frac{1}{2}gt^2 $$

$$ v=-gt$$

$$ v^2=2gy$$

が導かれます。

 

上むきを「正の向き」とする時

ついでに先ほどとは逆に
次のような

上向きを
正とした座標

を取る場合を考えます。

上向きが正なので
今の場合重力加速度は

負の方向

を向いています。

その結果

$$\Large a=-g$$
(上向きを正としたので符号は負!)

となります。

あとは先ほどと
同様に考え、加速度運動の次の公式

$$ x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$$

$$\large v=v_0+at$$

$$\large v^2-v_0^2=2ax$$

に$a=-g$、$v_0=0$を代入して

$$\large y= -\frac{1}{2}gt^2$$

$$\large v=-gt$$

$$\large v^2=-2gy$$

が導かれます。

 

このように

正の向きを
どう決めたかによって
式の形が変わる

ということに注意してください。

 

鉛直投げ下ろし

次に鉛直投げ下ろしです。

この鉛直投げ下ろしと
自由落下の違い

わざわざ
下に向かって投げるか

何もせず、ただ落とすか

というものであり、
これを言い換えると

初速度を持たせるのか
初速度を持たせないのか

となります。

つまり先ほど導いた
自由落下の式に初速度を
加えてあげればいいだけです。

以上を念頭において
速さ$v_0$で投げ下ろす
次のような場合を考えます。

 

下向きを「正の向き」とする時

落ち始める高さを原点とした
次のような

下向きを
正とした座標

取ります。

今、重力加速度と
初速度は同じく下向きです。

そのため重力加速度と初速度は

正の方向

を向いていることとなります。

そこで等加速度運動の次の公式

$$x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$$

$$\large v=v_0+at$$

$$\large v^2-v_0^2=2ax$$

において
$a$を$g$に変え、
$v_0$はそのままにすることで

$$y=v_0t+\frac{1}{2}gt^2$$

$$v=v_0+gt$$

$$v^2-v_0^2=2gy$$

が導かれます。

 

上向きを「正の向き」とする時

落とし始める高さを原点とした
次のような

上向きを
正とした座標

を取ります。

この場合初速度と重力加速度は
下向き、すなわち

負の方向

を向いています。

そのため初速度と加速度は
それぞれ$-v_0$と$-g$となります。

これを加速度運動の次の公式

$$x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$$

$$v=v_0+at$$

$$v^2-v_0^2=2ax$$

に代入して

$$y=-v_0t-\frac{1}{2}gt^2$$

$$v=-v_0-gt$$

$$v^2-v_0^2=2(-g)y=-2gy$$

が導かれます。

 

繰り返しになりますが

正の向きを
どう決めたかによって
式の形が変わる

ことに注意してください。

「向き」
超超超超超重要です。

 

鉛直投げ上げ

最後に鉛直投げ上げについてです。

次のように
速さ$v_0$で投げ上げる
場合を考えます。

 

上向きを「正の向き」とする場合

投げ始める高さを原点とした
次のような

上向きを
正とした座標

を取ります。

図からわかるようにこの時物体は

下向きの
重力加速度

上向きの
初速度

を持っています。

これは、今の場合

重力加速度
負の方向

初速度
正の方向を向いてる

と言い直せます。

つまり、加速度運動の
次の公式

$$x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$$

$$v=v_0+at$$

$$v^2-v_0^2=2ax$$

において

$v_0$はそのままに、
$a=-g$を代入すると良いわけです。

その結果、次の式が導かれます。

$$y=v_0t-\frac{1}{2}gt^2$$

$$v=v_0-gt$$

$$v^2-v_0^2=2(-g)y=-2gy$$

 

下向きを「正の向き」とする場合

これはほとんど必要になる
機会ありませんが、ついでに

下向きを
正の向きとする場合

についても考えます。

これはすなわち次のような

下向きを
正のとする座標

を取ることに相当します。

今度は下向きが正なので

重力加速度
正の方向

初速度
負の方向を向いてる

と言えます。

つまり、今の場合の運動を知るには
次の加速度運動の公式

$$x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$$

$$v=v_0+at$$

$$v^2-v_0^2=2ax$$

において
$v_0$を$-v_0$に変え
$a=g$を代入すると良いわけです。

その結果、次の式が導かれます。

$$y=-v_0t+\frac{1}{2}gt^2$$

$$v=-v_0+gt$$

$$v^2-v_0^2=2gy$$

 

 

まとめ

それでは今回のまとめです。

まとめ
  • 自由落下・鉛直投げ上げ・鉛直投げ下ろし
    公式を丸暗記する必要はない!
  • 加速度運動の公式から全て導ける!
  • 正確に導くためには「向き」がとても大事

改めて初めに示した表を載せます。

(全て上向きを正とした場合。
$v_0$は初速度の大きさを表す。)

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