単振動の加速度にマイナスがつくのはなぜ?運動方程式の弾性力にマイナスがつく理由を丁寧に解説!

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ばねの単振動の運動方程式

今回は次の図のような

ばねによる単振動

において、運動方程式が

$$\Large ma=-kx$$

と書かれるのはなぜなのかを
丁寧に解説していきます!

単振動の運動方程式では
なんでばねの弾性力に
マイナスがつくの??

フックの法則に
マイナス
つくってこと

と混乱している人は必見です!

 

フックの法則にはマイナスがつく?つかない?

ではまず

「フックの法則とは何か?」

から復習しましょう。

フックの法則とは次のようなものです。

フックの法則

$$\large F=kx $$

$x$:自然長からのばねの伸び
$k$:ばね定数、$F$:弾性力

 

補足

教科書やwebページによっては
このフックの法則の書き方がやや違うようですが
少なくともこの記事において「フックの法則」
と言う時は、先程の法則を指します。

ここで意識しなければならないのは

フックの法則は
「向き」を考慮してない

ということです。

 

先程のフックの法則とは

ばねをより伸ばすor縮めれば
より大きな力が生まれる

ことを言っているだけです。

 

どの向きに
力が大きくなるのか

は教えてくれません。

しかし運動方程式を考えるには
「向き」を考える必要があります。

 

この点をちゃんと意識せずに
混乱する人が一定数いるようなので
気をつけましょう。

ということでここからは

弾性力の向き

まで考慮して運動方程式を丁寧に作っていきます。

 

運動方程式を丁寧に作ってみる

わざわざ説明する必要はないとは思いますが
運動方程式とは

$$\large ma=F$$

と書かれるのでした。

そして今$F$は弾性力を表すことになるはずです。

この$F$を考えるために
次のような座標を取りましょう。

今、ばねが自然長となる地点原点
にとっていることに注意してください。

これから
(ややめんどくさいですが)

ばねが自然長より
伸びている時($x>0$)

ばねが自然長より
縮んでいる時($x<0$)

に場合わけをして考えていきます。

 

$x>0$の時(自然長より伸びている時)

この時、物体に働く力の「大きさ」
フックの法則より

$$\large |F|=kx~(>0) $$

だとわかります。
(「大きさ」なので絶対値の記号を付けました)

図示すると

のようになります。

そして図からわかるように
この時弾性力は

負の方向

に働きます。

つまり向きまで考慮すると
運動方程式の弾性力には
マイナスをつけないといけません

 

ということで物体に働く
向きまで考慮した弾性力
として

$$\large F=-kx$$

が得られます。

 

$x<0$の時(自然長より縮んでいる時)

では次です。

この場合でも、向きを無視した
物体に働く力の「大きさ」
フックの法則により

$$\large |F|=-kx~(>0)$$

となります。

注意
今 $x<0$であることから
$kx<0$、また$-kx>0$
であることに注意して下さい。

そしてこれを図示すると
次のようになります。

図からわかるように、この時弾性力は

正の方向

に働きます。

そのため方向を考慮し
運動方程式に用いる際
符号を変える必要はありません

ということで
向きまで考慮した弾性力
として

$$\large F=-kx$$

が得られます。

 

2つの場合をまとめる

以上2つの場合をまとめると
ばねの弾性力は

$$\Large F=-kx $$

と表されることがわかります。

 

よってこれを運動方程式に代入して

$$\Large ma=-kx$$

が得られるわけです。

そしてここから加速度は

$$\Large a=-\frac{k}{m}x$$

となり、さらにこれは$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$
を用いることにより

$$\Large a=-\omega^2 x$$

が得られます。

ここまで長々と丁寧に解説してきましたが
ばねによって単振動をする物体の
運動運動方程式を考える場合には、とにかく

向きまでちゃんと考慮する

ことに気をつけてください。

 

まとめ

まとめ
  • フックの法則はあくまで
    力の「大きさ」だけ。

    その「向き」については
    何も教えてくれない。
  • 運動方程式では
    その「向き」を考慮することで

    マイナスが現れる!
  • その結果、加速度にも
    マイナスがつく!
  • 混乱しないように注意しよう!

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