単振動の加速度にマイナスがつくのはなぜ？運動方程式の弾性力にマイナスがつく理由を丁寧に解説！

ばねの単振動の運動方程式

今回は次の図のような

ばねによる単振動

において、運動方程式が

$$\Large ma=-kx$$

と書かれるのはなぜなのかを
丁寧に解説していきます！

単振動の運動方程式では
なんでばねの弾性力に
マイナスがつくの？？

フックの法則に
マイナスが
つくってこと？

と混乱している人は必見です！

フックの法則にはマイナスがつく？つかない？

ではまず

「フックの法則とは何か？」

から復習しましょう。

フックの法則とは次のようなものです。

ここで意識しなければならないのは

フックの法則は
「向き」を考慮してない

ということです。

先程のフックの法則とは

ばねをより伸ばすor縮めれば
より大きな力が生まれる

ことを言っているだけです。

どの向きに
力が大きくなるのか

は教えてくれません。

しかし運動方程式を考えるには
「向き」を考える必要があります。

この点をちゃんと意識せずに
混乱する人が一定数いるようなので
気をつけましょう。

ということでここからは

弾性力の向き

まで考慮して運動方程式を丁寧に作っていきます。

運動方程式を丁寧に作ってみる

わざわざ説明する必要はないとは思いますが
運動方程式とは

$$\large ma=F$$

と書かれるのでした。

そして今$F$は弾性力を表すことになるはずです。

この$F$を考えるために
次のような座標を取りましょう。

今、ばねが自然長となる地点を原点
にとっていることに注意してください。

これから
（ややめんどくさいですが）

ばねが自然長より
伸びている時（$x>0$）

と

ばねが自然長より
縮んでいる時（$x<0$）

に場合わけをして考えていきます。

$x>0$の時（自然長より伸びている時）

この時、物体に働く力の「大きさ」は
フックの法則より

$$\large |F|=kx~(>0) $$

だとわかります。
（「大きさ」なので絶対値の記号を付けました）

図示すると

のようになります。

そして図からわかるように
この時弾性力は

負の方向

に働きます。

つまり向きまで考慮すると
運動方程式の弾性力には
マイナスをつけないといけません。

ということで物体に働く
向きまで考慮した弾性力
として

$$\large F=-kx$$

が得られます。

$x<0$の時（自然長より縮んでいる時）

では次です。

この場合でも、向きを無視した
物体に働く力の「大きさ」は
フックの法則により

$$\large |F|=-kx~(>0)$$

となります。

そしてこれを図示すると
次のようになります。

図からわかるように、この時弾性力は

正の方向

に働きます。

そのため方向を考慮し
運動方程式に用いる際
符号を変える必要はありません。

ということで
向きまで考慮した弾性力
として

$$\large F=-kx$$

が得られます。

2つの場合をまとめる

以上2つの場合をまとめると
ばねの弾性力は

$$\Large F=-kx $$

と表されることがわかります。

よってこれを運動方程式に代入して

$$\Large ma=-kx$$

が得られるわけです。

そしてここから加速度は

$$\Large a=-\frac{k}{m}x$$

となり、さらにこれは$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$
を用いることにより

$$\Large a=-\omega^2 x$$

が得られます。

ここまで長々と丁寧に解説してきましたが
ばねによって単振動をする物体の
運動運動方程式を考える場合には、とにかく

向きまでちゃんと考慮する

ことに気をつけてください。

まとめ